Точка входа: логика
Почему здравый смысл частенько дает сбои и как этого избежать
«Точка входа» — рубрика для тех, кто хочет освоить новую область знаний, но не знает, как к ней подступиться. В новом выпуске генеральный директор фотостудии Monochrome Loft, выпускник кафедры теории вероятностей и математической статистики СПбГУ, Константин Зильбербург рассказывает о логике.
Наш мозг устроен так, что всякую новую информацию он сравнивает с уже известной и стремится её классифицировать, упростить до стереотипа. Этот механизм называется «здравый смысл», и он частенько даёт сбои.
Однажды в споре про распространенные стереотипы о женщинах за рулем я привел в качестве контрпримера Марию де Виллота, женщину-автогонщика, недавно ставшую тест-пилотом «Формулы-1» в команде Marussia, а до этого выступавшую в этом же качестве в команде Renault. Мне ответили другим стереотипом: «Исключение только подтверждает правило».
И были, конечно, неправы.
Само выражение «исключение подтверждает правило» возникло в результате ошибки, точнее, ошибочного перевода. На самом деле этот принцип римского права Цицерон сформулировал так: Exceptio probat regulam in casíbus non exceptis, что значит: «Исключение утверждает (то есть свидетельствует о наличии) правила для случаев, которые не были исключены».
Мария де Виллота родилась в 1980-м году в Мадриде. Ее отец Эмилио был пилотом «Формулы-1», а позднее открыл собственную школу для гонщиков
Например, дорожный знак «Парковка по четным дням запрещена» означает, в частности, что по нечётным дням парковка всё-таки разрешена. Из этого же принципа следует и презумпция невиновности — если вина человека не была доказана, то человек не может считаться виновным. В более сложных случаях здравый смысл работает гораздо хуже, и здесь нам на помощь приходит формальная логика.
Логика — это наука о том, как правильно строить рассуждения и как из одних фактов вывести другие. Основным понятием в логике является высказывание — некое повествовательное предложение, которое может быть либо только истинным, либо только ложным.
Например, фраза «Владимир Путин победил на выборах» истинна и поэтому является высказыванием.
Также и фраза «Выборы 4 марта прошли без нарушений» — высказывание, хоть и ложное.
А вот фраза Владимира Путина «Мы победили в открытой и честной борьбе» — это вообще не высказывание, потому что про нее нельзя однозначно сказать, истинна она или ложна.
Вообще-то высказывания могут быть составными — то есть состоять из других высказываний, но только объединённых логическими связками, такими как «и», «или», «не», «если..., то», «тогда и только тогда» и так далее.
Наверное, самое интересное — это связка-следствие. Пусть у нас есть два высказывания — назовём их А и Б. Так вот, «Если А, то Б» — это тоже высказывание. И оно ложно только в том случае, если одновременно Б ложно, а А истинно. То есть если изначальное высказывание А ложно, то из него может следовать всё что угодно. Например, Путин мог выразиться следующим образом: «Если борьба была открытая и честная, то мы победили». Это было бы правдой вне зависимости от того, кто такие «мы». И наоборот, истинное следствие можно получить из любой, даже ложной посылки, что особенно для нас важно, поскольку часто можно пропустить подмену понятий, когда мы заменяем истинное следствие на ложную причину: если женщины глупее мужчин, то среди них меньше учёных. Среди них действительно меньше учёных — значит, говорит наш манипулятор-мозг, женщины и вправду глупее мужчин.
Наконец, высказывание может содержать переменную величину (например, «избиратель») или относиться сразу к целой группе значений этой величины (например, «каждый избиратель» или «хотя бы один избиратель»). Эти обобщающие формулировки называются кванторами — квантор всеобщности и квантор существования и с их неправильным использованием (или вообще неиспользованием) связан ещё целый спектр распространённых ошибок.
Действительно, многие женщины в России водят хуже мужчин.
Это связано, безусловно, не с различием умственных способностей, а скорее с тем, что женщины только в последние десятилетия массово пошли в школы вождения и ещё не сравнялись в стаже с лихачами на «Волгах». Но если я говорю «женщины плохо водят автомобиль», то меня можно понять и как «некоторые женщины плохо водят автомобиль», что верно, и как «все женщины плохо водят автомобиль», что совершенно неверно и опровергается примером с Марией де Виллота. Поэтому не стоит бояться показаться занудой и добавить квантор — опытный спорщик всегда обратит внимание на его отсутствие и попытается трактовать ваши слова превратно.
По теме
В конце концов, даже модный нынче Шерлок Холмс говорил: «Я никогда не делаю исключений. Исключение опровергает правило». И был, как всегда, прав.
5 книг о логике:
Льюис Кэрролл «Логическая игра»
Автор абсурдистской «Алисы» и «Охоты на Снарка» не только писал «детские» книжки, но и преподавал математику в оксфордском Christ Church College. «Логическая игра» была придумана и написана, чтобы нагляднее объяснять юным подругам профессора не слишком очевидную теорию логики. В этой книге и последующей «Символической логике» (Symbolic Logic) Кэролл применяет графические и координатные методы для объяснения правил вывода.
Андрей Колмогоров, Альберт Драгалин «Введение в математическую логику»
Андрей Колмогоров за свою жизнь приложил руку, кажется, почти ко всем разделам математики. Логикой он интересовался всю жизнь, сумев в начале карьеры установить связь между основными противоборствующими подходами формально-аксиоматической и интуиционистской школ, а в последние годы возглавив кафедру математической логики МГУ. Книга представляет собой первую часть учебника, предназначенную для студентов младших курсов, не имеющих специальных знаний.
Бертран Рассел «Основы математики»
Английский математик и философ, ярый противник христианского клерикализма именно на логике основал новое направление в философии — логический атомизм, переросший в эмпирический позитивизм.
Аристотель «Органон»
Тем, кто хочет начать с основ, безусловно, следует взяться за Аристотеля, который не просто придумал формальную логику, но и разработал теорию познания. «Органон» — это сборник его трудов, посвященных логике. Он актуален до сих пор с поправкой на то, что в последнее столетие логическая теория существенно перерабатывалась, структурировалась и разрешилась от парадоксов благодаря Гилберту, Расселу, Колмогорову и другим математикам.
Мартин Гарднер «Математические головоломки и развлечения»
Американский математик и писатель, умерший два года назад, многие годы занимался популяризаторством математики, вел колонку математических головоломок и игр в журнале Scientific American, а также редактировал детский журнал «Шалтай-Болтай» и написал подробные комментарии к кэролловским «Алисам» и «Снарку». Книга содержит множество занимательных задач «из жизни», максимально подготовленных для перевода на язык математики и логики. Это идеальная точка входа для заинтересовнного читателя.
Что такое логика?
Логика — это наука о том, как правильно строить рассуждения и как из одних фактов выводить другие.
Что является основным понятием в логике?
Высказывание — некое повествовательное предложение, которое может быть либо только истинным, либо только ложным.
В чем состоит главная ошибка людей, не знакомых с логикой?
Использование выражения «исключение только подтверждает правило», которое возникло в результате ошибочного перевода. В оригинале этот принцип римского права звучит так: «Исключение утверждает (то есть, свидетельствует о наличие) правила для случаев, которые не были исключены».
Какими могут быть высказывания?
Высказывания могут состоять из других высказываний, но только объединённых логическими связками такими, как «и», «или», «не», «если..., то», «тогда и только тогда» и так далее.
Как работает высказывание «связка-следствие»?
Есть два высказывания — А и Б. «Если А, то Б» — это тоже высказывание. И оно ложно только в том случае, если одновременно Б ложно, а А истинно.
Что такое квантор?
По теме
Это понятие, означающее обобщающую формулировку. Утверждение «женщины плохо водят автомобиль» можно понять и как «некоторые женщины плохо водят автомобиль», что верно, и как «все женщины плохо водят автомобиль», что совершенно неверно.
5 книг о логике:
Льюис Кэрролл «Логическая игра»
Андрей Колмогоров, Альберт Драгалин «Введение в математическую логику»
Бертран Рассел «Основы математики»
Аристотель «Органон»
Мартин Гарднер «Математические головоломки и развлечения»
Подпишитесь на нас в социальных сетях