Хаос наступает

Фрактальные следы животных, или почему ошибаются синоптики

Во втором выпуске блога «Область незнания» (первый был посвящен фракталам) любознательный Леша Ивановский рассказывает
​о становлении науки о хаосе, перевернувшей мир,​ где главенствовал редукционизм, и бесконечно советует всем книгу Глейка «Хаос.
Создание новой науки». Неуемный ботаник, он даже написал программу, которая должна помочь вам почувствовать всю силу хаотических процессов.

After all the pretty contrast of life and death
Proves that these opposite things partake of one,
At least that was the theory, when bishops'' books
Resolved the world. We cannot go back to that.
The squirming facts exceed the squamous mind,
If one may say so . And yet relation appears,
A small relation expanding like the shade
Of a cloud on sand, a shape on the side of a hill.

Wallace Stevens. Connoisseur of Chaos (1942)

Ведь весь яркий контраст жизни и смерти
Говорит: антиподы — часть одного,
Так хотя бы считали, когда мир измерялся
Церковной доктриной. К ней мы не можем вернуться.
Факты корчатся и превосходят чешуйчатый ум,
Если так можно сказать. И возникает связь,
Незаметная, но растущая, словно тень​
Облака на песке, словно фигура на склоне холма.

Уоллес Стивенс. Знаток хаоса(пер. Дарьи Борисенко)

Пробоина в ньютоновской механике. Проблема трех тел

Компьютерная симуляция хаотического движения в системе
из трех тел.

Проблема, о которой знал и сам Ньютон, состояла вот в чем: уравнения ньютоновской механики довольно точно описывали движения в пространстве двух тел. Надо просчитать позицию Земли относительно Солнца в заданной точке во времени — пожалуйста, без проблем, но (большое но) если у вас в системе три тела (исторически это были Луна, Земля и Солнце), то всё, уравнения не работают, предсказания невозможны. Минимальное усложнение системы приводило
к полной ее дисфункциональности. Проблема получила название проблемы ​трех тел и была одной из ключевых (потому что ее решение было важно для навигации) в XVIII веке.

Пуанкаре доказал, что дело не в том, что проблему эту сложно решить (решить — значит успешно предсказать положения и скорости трех тел в заданной точке
во времени), а в том, что ее невозможно решить, используя ньютоновскую механику в принципе. Пробоина от удара Пуанкаре пришлась ниже ватерлинии ньютоновской механики, и та постепенно начала тонуть.

Но наука — система с большой инерцией. Перелом случился не сразу, и даже не через десять лет. Только во второй половине XX века силами ученых из разных областей знания начала складываться (пожалуй, не совсем уместный, слишком упорядоченный термин, скорее зарождаться) новая научная парадигма (простите
за слово, но такая уж у Куна терминология), в центре которой —
не упорядоченный, похожий на часы, мир, а хаос. 

Еще одна компьютерная симуляция хаотического движения в системе из трех тел.

Приблизительные траектории Земли и Венеры в их вращении воокруг Солнца (в центре).

Ошибка на толщину волоса может сбить
с пути на тысячу миль.

Китайская
пословица

Первые опыты.
Эффект бабочки

Проблемами хаотических процессов занимались многие ученые в начале XX века, в том числе и в России. Но первым ученым, начавшим пристально
и целенаправленно изучать хаотические системы, стал метеоролог Эдвард Лоренц, открывший так называемый эффект бабочки — сильную зависимость системы
от начальных условий.

Лоренц занимался предсказанием погоды на вымышленной планете —
она существовала в его компьютере и описывалась системой из 12 уравнений.
В 1961 году он дважды посчитал поведение системы, используя очень похожие начальные значения: — 0,506127 и 0,506. Разница между ними меньше 1%.
Каково же было его удивление, когда он увидел два абсолютно разных графика предсказания. Сперва они были похожи, но после определенной точки начинали расходиться и давать совершенно различные результаты. Это было великое открытие, и Лоренц понял это сразу.

Александр Михайлович Ляпунов, математик, работавший в Петербурге
до 1917 года, создал теории устойчивости равновесия
и движения механических систем и изучал устойчивые состояния
в жидкостях. Застрелился
в Одессе 3 ноября 1918 года

Тот самый исторический график, который увидел Лоренц. Заметтье как кривые сперва идут рядом, а потом расходятся.

Облако может быть похоже на кошку, несущую в зубах мышь.

Пословица народа Камбеба из цикла «Лес в дождь»

Что же открыл Лоренц? Оказалось что система из 12 уравнений, которую он использует, обладает сильной зависимостью от начальных условий. Это значит, что если мы, например, при помощи этой системы предсказываем погоду в нашем городе по измерениям с метеорологических станций, то крошечная разница
в измеренной температуре ( а) +23 градуса против б) +23,0001 градуса) приведет
в конце к абсолютно разному прогнозу на следующую неделю.
При данных а) через десять дней будет предсказанна температура +20 градусов,
а по данным б) — +12.

Именно это и называется эффектом бабочки. Крошечное изменение начальных условий, взмах крыла меняет скорость воздуха вокруг бабочки, может привести
к образованию урагана на другом континенте. Все не просто взаимосвязано,
все бесконечно сильно взаимосвязано. 

Погода на Земле — нелинейная динамическая система с сильной зависимостью
от начальных условий. Сложность ее такова, что, по выражению Стивена Вольфрама, она вычислительно несводима. Это значит, что дело не
в кривых руках или мозгах метеорологов. Улучшение систем сбора информации
и прогнозирования может только отсрочить ту точку, за которой начинается хаос. Но он все равно начнется, сколь бы хороши наши методики ни были.
При современных технологиях достоверный прогноз можно ожидать на три-четыре дня, кардинальное их улучшение может сделать прогнозируемой неделю.
Но в существующих научных моделях просто не может быть возможностей предсказать погоду на десять лет вперед, так же как и решить задачу
о трех планетах.

Аттрактор Лоренца.

Продолжение опытов. Аттрактор Лоренца.
Новый тип упорядоченности

Описав феномен сильной зависимости от начальных условий, Лоренц решил посмотреть, насколько сильно можно упростить систему уравнений, чтобы зависимость от условий сохранялась. Он уменьшил количество уравнений
до трех и получил систему, описывающую поведение жидкости (или газа), поднимающейся из горячей области в холодную, и начал строить график для этих уравнений. То, что открылось его глазам — бесконечно накручивающаяся вокруг двух точек спираль, — стало первым отображением удивительного класса объектов, называемых странные аттракторы.

Аттрактор — это то состояние, к которому стремится система.
Для камня, скатывающегося с холма, его аттрактор — точка с определенными координатами и скоростью, равной нулю, точка, где он и его график остановятся.

Странный же аттрактор не зря так назван — это точки, вокруг которых петляет график, как бы притягивают его, но он ни разу их не коснется. Мало того, он даже ни разу не пересечет сам себя. Нам может показаться, что график дважды проходит по точке [6;3], но на самом деле во второй раз он проходит по точке [6,0001;3,0002] — почти там, да не там. Это и есть графическое отображение зависимости от начальных условий. Если мы начнем раскручивать графики из этих двух почти одинаковых точек, мы получим абсолютно разные графики.
Как и с погодой, они сперва будут близки, но довольно скоро совсем разойдутся.

Представить это можно так: мы знаем, что балансирующий на пальце карандаш — система в точке переломного момента. Она стабильна, но малейшее дуновение ветерка способно покачнуть ее и привести к непредсказуемым результатам.
Так, для системы с сильной зависимостью любой момент в ней переломный.
Любой силы воздействие в любой момент времени приведет к большим изменениям. 

Джеймс Глейк
о первопроходцах хаоса:

«Перед взором исследователей представали причудливые объекты, устойчивые и не совсем, имеющие пределы и безграничные, но всегда обладавшие очарованием жизни. Именно поэтому ученые, словно дети, играли в эти игрушки». 

Джеймс Кратчфилд говорил:

«Мы поняли, что перед нами лежит целая область физических знаний, которую нельзя втиснуть в рамки современного научного исследования. Нас этому не учили. Ну что ж, нам представился шанс взглянуть на реальность прекрасного земного мира и попытаться хоть что-то понять».

Так Лоренц одним махом стер две грани — между упорядоченным и неупорядоченным и между простым и сложным (как это сделал Мандельброт, читайте в предыдущей статье).

Очевидно, что эта система из трех уравнений имеет некоторую упорядоченность: график ее — красивая, почти симметричная фигура. И в то же время понятно, что этой упорядоченностью никак не воспользоваться — предсказать по ней ничего не получится, поскольку зависимость от начальных условий сведет на нет все попытки предсказания.

То же и с простотой: система исключительной простоты — всего-то три уравнения — оказалась способной порождать бесконечную сложность. Мир хаоса оказался значительно ближе, чем кажется: один, два — все в порядке, но сразу за цифрой три начинался хаос. Предопределенность (мы задаем ее уравнениями) в таких системах не исключает непредсказуемости.

Прекрасный пример предопределенной, ​
но непредсказуемой системы — снежинки.
Их форма обусловлена внутренней структурой молекул воды. Но зависимость от начальных условий у них настолько велика (условно если рядом не 234, а 235 молекул кислорода),
что даже в стерильных лабораторных условиях почти невозможно получить две одинаковые снежинки. 

Хаос оказался совсем близко даже в понятных областях — например, в механике маятников, которую изучают чуть ли не со времен древних греков. Стоит соединить два маятника, как мы тут же получаем нелинейную колебательную систему с сильной зависимостью от изначальных условий — по-нашему, хаотическое поведение. Предсказать поведение такой системы невозможно. Попробуйте сами.

Джеймс Глейк: 

«Странный аттрактор, этот фрагмент мироздания, ставший зримым благодаря компьютеру, начинался как простая вероятность.
Он лишь отмечал собой ту сферу, куда не удалось проникнуть богатому воображению многих ученых XX века. ​Когда вычислительные машины сделали свое дело, специалисты
поняли, что полученное изображение, словно лицо давно
знакомого человека, мелькало везде: в мелодии турбулентных потоков, за флером подернувших небо облаков. Природа была обуздана. Казалось, беспорядок введен в русло, разложен ​
на узоры, в которых подспудно угадывался общий мотив».

Какие животные оставляют фрактальные следы? Бифуркация функций
и динамика популяций

В 1960–1970-е годы ученые из разных областей науки стали натыкаться на хаотическое поведение систем. Так, биолог Роберт Мэй строил предсказания размера популяций тех или иных видов в зависимости от некоторых факторов, в первую очередь
от плодовитости.

График, который он получил, описывая
свои несложные формулы, стал еще одним иконическим графиком в теории хаоса — графиком раздваивающейся функции,
то есть функции, имеющей точки бифуркации.

При низких значениях плодовитости размер популяции приходил к своему аттрактору — устанавливался на определенном уровне.
Но при коэффициенте плодовитости больше трех происходило удивительное: кривая на графике раздваивалась, а потом еще и еще, все быстрее и быстрее, и так до бесконечности, превращая поле графика в хаотическую массу линий.

Если вы познакомились с фракталами в прошлой статье — вам не сложно увидеть в этом чисто фрактальное поведение. Фракталы — неотъемлемый элемент теории хаоса. Фрактальными свойствами обладают и странные аттракторы.

Триумф хаоса.
Островки упорядоченности

Первооткрыватели хаоса, на которых в начале пути смотрели как на умалишенных, зачем-то опять решили взглянуть на тысячи раз описанные маятники
и колебательные системы и к 1980-м годам стали звездами. Теория хаоса одержала триумф. Митчелл Файгенбаум нашел общности в хаотических системах. Физик Бернардо Губерман нес идеи хаоса вглубь медицины. Мишель Энон с помощью
теории хаоса делал аппроксимации орбит значительно больше, чем трех космических объектов. Мало кто еще думал, что простые системы порождают простое поведение — все видели, как из системы двух маятников выходит бесконечное количество информации, и поэтому мало кто искал за сложным поведением обязательно сложные причины. Мало того, многие системы из совсем разных областей науки оказались взаимосвязаны значительно теснее, чем казалось раньше.

Глейк пишет: «Хаос стал совокупностью идей, убедившей ученых в том, что все они — участники одного начинания. И физики, и биологи, и математики — все поверили,
что простые детерминистские системы могут порождать сложность, а системы, слишком сложные для традиционной математики, подчиняются простым законам. Поверили они также и в то, что главная их задача, независимо от сферы деятельности, состояла
в постижении самой сложности».

То, что раньше считалось ошибкой в результатах, досадными неточностями —
шумом в системе, оказалось самой системой. Эволюция стала описываться как хаотический процесс с обратной связью. Мир, ранее казавшийся упорядоченным
и механическим, рассыпался и разлетелся на куски, превратился в ветвящиеся функции и странные аттракторы. Основой всего оказался хаос, а мы — всего лишь островками упорядоченности в нем. 

Глейк заканчивает свою книгу описанием истории эколога Уильяма Шаффера, окунающегося в океан хаоса, сметающего старые устои его науки. Изучая экологию популяций в аризонской пустыне, Шаффер зашел в тупик, его системы и прогнозы рушились, не давая никаких результатов. Но однажды, наткнувшись на статью
из области химии, он понял, что химики столкнулись с подобными проблемами,
и начал изучать их решения — погрузился в изучения реконструкции фазового пространства, познакомился с работами Лоренца и Йорка.

Уильям Шаффер:

«То, что мы в нашей области считаем основными понятиями, подобно легкой дымке перед яростным напором бури —
в данном случае настоящего нелинейного шторма».

«"Внезапно я понял, что это судьба", — вспоминал позже Шаффер, которому предстоял год академического отпуска. Он отозвал свою заявку из Национального научного фонда, куда обращался с просьбой о финансировании, и начал все снова. Высоко ​в горах Аризоны популяция муравьев росла и уменьшалась, пчелы с жужжанием кружились
в воздухе, облака медленно плыли по небу, а Шаффер постигал новую науку.
Он больше не мог работать как прежде».

p.s.

Я не хочу советовать много книг: я хотел бы, чтобы вы прочитали всего одну — книгу Глейка «Хаос. Создание новой науки».

Она давно приобрела культовый статус и многократно всплывает то там, то тут в лекциях по самым разным областям знаний.

p.p.s.

Скачать
программу

(30мб, версии для win32 win64 mac и linux, на Windows часто барахлит — простите. )

Чтобы дать вам возможность посмотреть, как сложно ведут себя простые системы, я написал простую программу: она имитирует стаю живых существ.
Их поведение определяется всего тремя силами — притяжением, отталкиванием и усреднением направления движения. (Помните, всего три уравнения нужны и для аттрактора Лоренца.)
Но при взаимодействии они способны порождать самые разные узоры поведения — от слаженного движения до выстраивания жестких сеток.
Измените параметры и посмотрите, что
у вас получится. 

Программа написана в рамках курса 
по Processing в Moscow Architectural Laboratories.

p.p.p.s.

Теория хаоса в числе прочего говорит нам, что сильные изменения могут происходить без толчка снаружи — просто потому, что система дозрела, а они были заложены в нее изначально. Просто стабильность системы была мнимой и временной, и она сама по себе переходит в хаотическое состояние. Например, так рушится без видимых внешних причин ледник. Островок упорядоченности возвращается в океан хаоса.