Фрактальная геометрия мира

Что нам забыли рассказать в школе и как математик разгадал язык природы

Наш арт-директор Леша Ивановский охладел к своему старому блогу
о заблуждениях , но ищет оправдание,
чтобы продолжить рассказывать о науке.
В первом выпуске «Области незнания» —
о лучшем, что есть у природы,
о фракталах.

Круги на схеме — области знания/незнания. Наведите на каждую ​из них, чтобы прочитать подробности.

Этой статьей я начинаю новый блог под названием «Область незнания». Его идею проще всего отразить на схеме — у человека есть три области знания / незнания.

Первая область — то, что мы знаем, что знаем. Она крайне мала (и даже еще меньше, чем вы сейчас подумали). И мне за отсутствием глубоких знанийпо какому-либо предмету добавить в нее вам нечего.

Вторая область — то, что мы знаем, что не знаем. Именно на расширение этой области
и будет направлен этот блог.

Третья область (бесконечно обширная) — 
то, что мы не знаем, что не знаем. Если блог выполняет свою задачу — объекты из этой области перемещаются во вторую, и вы сможете сказать: «Раньше мы не знали, что не знали, 
а теперь знаем, что не знаем».

евклид

Чего мы не узнали
в школе: фрактальная геометрия против евклидовой

При слове «геометрия» у нас из глубин памяти всплывают цилиндры, треугольники, гипотенузы, биссектрисы углов, «найдите площадь фигуры», грифельные доски и ломающийся мел. Проблема в том, что все, приходящее
на ум, — это язык для описания крайне узкого набора явлений окружающего мира. Дома, может быть, иногда и близки к параллелепипеду, но деревья —
не цилиндры, горы — не конусы, а форму облака непонятно с чем и сравнить.

фрактал

Если мы приглядимся внимательно, то в окружающем нас мире эта школьная геометрия (мы будем называть ее евклидовой) описывает не столь уж и многое. И в большинстве своем описывает формы, созданные человеком (оцените круговую логику — неудивительно, что дом, построенный с помощью евклидовой геометрии, успешно можно этой геометрией описать). Но как быть со всем остальным миром, как можно описать форму дерева или очертания острова, форму комка земли или ветвящуюся структуру бронхов?

Этим вопросом ученые задавались давно, но, поскольку не находили убедительного ответа, записывали эти формы в «неупорядоченные», «монструозные», «неисследуемые». Глобальный перелом произошел только в 1960–1970-х годах, когда французский математик Бенуа Мандельброт придумал и развил свою теорию фракталов. Это была новая, фрактальная геометрия, взявшая за объект исследования все то неровное, изломанное и шершавое, что нас окружает (то есть почти все). И Мандельброт нашел в сложных формах природы свой удивительный порядок.

На фото красным отмечены формы, описываемые фрактальноей геометрией. Синим, описываемые эвклидовой геометрией. 

То же разделение работает
и для пары рукотворный/нерукотворный.

Наш герой:

Бенуа Мандельброт
(1924–2010) 

Французский математик. Основатель фрактальной геометрии. Во время войны уехал из Франции в Америку и остался там. Долгое время был изгоем и не признавался широкими научными кругами, но в конце 1970-х годов обрел признание и славу одного из самых оригинальных математиков. В 1977 году выпустил книгу «Фракталы: форма, случай и размерность», в 1982 году вышло переиздание — культовая книга «Фрактальная геометрия природы». В течение 35 лет работал в компании IBM.

Впервые о том, что не стоит записывать в неупорядоченное то, что мы не можем описать евклидовой геометрией, высказался еще Ричард Бентли, британский ученый XVII века:

«Вся красота относительна... Мы не должны думать, что берега океана искажены и деформированы, потому что они не похожи на ровную стену; и мы не должны думать, что горы имеют неправильную форму, потому что они не являются правильными пирамидами или конусами; и мы не должны думать, что звезды неумело расположены на небе, раз они находятся на разном расстоянии от нас. Это не природные неточности — они кажутся такими только по нашему капризу». 

Примеры фрактального построения растений

Мандельброт вводит термин «фрактал»

Бенуа Мандельброт, наш главный герой, придумал и впервые употребил термин «фрактал» (от лат. fractus — изломанный) совсем недавно — в 1975 году. Nomen est numen, вспоминает Мандельброт латинское выражение: «назвать — значит понять». С этого момента можно вести отсчет современной фрактальной геометрии.

Приблизительное определение фрактала таково: это самоподобная фигура (часть похожа на целое), чье фрактальное измерение больше топологического.

Что такое фрактальное измерение и чем оно отличается от топологического (это обычное, евклидово измерение, где 0 — точка, 1 — линия, 2 — плоскость, 3 — объемная фигура), мы разберемся позже. Сейчас нам важно только то, что любая часть фрактала похожа на весь фрактал в целом. Так, отдельная ветка на дереве напоминает по строению все дерево, а часть листа папоротника — весь лист.

Похожие объекты многократно всплывали в истории математики, но именно Мандельброт объединил разрозненные события в одну стройную систему — теорию неровностей и шероховатостей. Она описывала некоторый порядок в формах, до того считавшихся неупорядоченными. В форме облака, в строении дерева или очертании береговой линии Мандельброт находит измеряемые параметры — законы упорядоченности в хаосе.

Кликните на
папоротник,
чтобы
вырастить его
заново

Историческое отступление: любовь
к целым числам

Причина, по которой фрактальная геометрия возникла так поздно, конечно, заключается, среди прочего, в отсутствии до 70-х годов ХХ века нормальных вычислительных мощностей. Также она может быть обусловлена историческим и околорелигиозным наследием евклидовой геометрии.

Ключевыми фигурами в геометрии еще со времен Платона, считавшего их строительным материалом этого мира, считались пять фигур: тетраэдр (четыре грани, рис. 1), куб (шесть), октаэдр (восемь), додекаэдр (12, рис. 2) и икосаэдр (20). Другие формы находились вне плоскости изучения геометрии. В лучшем случае они считались тенями — неточными воплощениями идеальных божественных фигур. В худшем — просто отбрасывались как патологические.

В простых пропорциях целых чисел искали отблески небесной гармонии и строители готических соборов, считая, что «музыка сфер» крайне гармонична, так как использует именно простые пропорции. При таком взгляде иррациональные пропорции дерева, например, не обладали божественной гармонией — только ее отблесками.

Это последствия антропоцентричного мышления. Простые музыкальные аккорды, приятные нашему слуху, имеют простые пропорции —> значит, и небеса построены на этих пропорциях, ведь это отражение высшей гармонии, —> значит, и все остальное надо измерять, отталкиваясь от этих пропорций.

К сожалению, эти пропорции отражают разве что устройство человеческого уха и психики. Шум листвы — это не кварта, а песня соловья строится не по нами определенным нотам. Открытие Мандельброта понадобилось, чтобы показать, что в изломанных формах природы есть значительно более сложный и интересный порядок.

Самый близкий его пример — прямо у вас в груди. Сердечный ритм имеет ярко фрактальную структуру. В нас отблеск не божественной простоты и гармонии, которую мы выдумали сами, а изначального хаоса этой вселенной.
(Науке о хаосе будет посвящен второй выпуск этого блога).

рис.2

рис. 1

Открытие Мандельброта:​бесконечные острова

Одно из самых ранних открытий ученого — бесконечная длина береговой линии любого острова. Именно так. Но как же так, спросим мы? Что за глупость? Давайте успокоимся
и посмотрим на наши измерительные приборы, говорит нам наш герой:

Оказывается, если наша линейка длиной в 100 м — вокруг острова поместятся 19 штук,
и длина его береговой линии будет 1900 м. Если наша линейка длиной в 10 м, она сможет промерить более мелкие впадины и бухты — на береговой линии поместятся 242 штуки,
а длина береговой линии составит 2420 м. Если мы возьмем линейку в 1 мм, то сможем промерить каждый камушек — длина береговой линии при таком измерении будет
5423 м — втрое больше первой величины.

 Условные измерительные линейки длинной
в 100м, 10м и 1мм.

Какая же длина правильная, спросим мы? «Никакая, длина береговой линии бесконечна», — усмехнется Бенуа. Чем меньше будет наша линейка, тем больше будет длина. При линейке, стремящейся к нулю, длина линии будет бесконечной для любого острова, хоть для Цейлона, хоть для крошечного острова Сипадан.

Мандельброт задался вопросом, как сравнить два острова, если очевидно, что они разные. И ввел новую величину — фрактальную размерность (на самом деле это переосмысленная им размерность Хаусдорфа).

Фрактальная размерность — мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. Размерность у фрактального объекта всегда больше топологической (обычной) размерности и может быть (чаще всего и является) дробной.

Еще один важный сдвиг (для меня — самый важный) происходит в наших представлениях о том, что такое простые вещи, а что такое сложные.

Пример кривой Пеано.
Здесь показан порядок обхода квадратиков 1-6 уровня.

О простом
и сложном
в природе. Почему папоротник проще сферы

В нашем повседневном представлении самыми простыми кажутся вещи, наиболее просто описываемые евклидовой геометрией. Стол — это просто. Бетонный куб — еще проще. Стальной шар кажется самой воплощенной простотой (есть даже анекдот про «один сломал, другой потерял», в массовом сознании металлический шар — неделимый предмет).

Но тогда зададимся вопросом, почему большинство простых вещей сделаны человеком? Почему деревья, рыбы, грибы или легкие человека — не правильные сферы или кубы, ведь природа, идеальный оптимизатор, должна была найти максимально простую форму.

На самом деле формы живой природы действительно довольно простые, надо только взглянуть на них совсем с другой стороны — развернуться на 180°.

Чтобы совсем запутаться и забыть о наших привычных представлениях о простом и сложном, давайте рассмотрим самую известную из фрактальных форм — множество Мандельброта. Оно задается крошечной формулой:

Даже капли дождя —
не идеальные сферы. Они даже
не «каплевидной формы» — скорее похожи на пельмени.
Нас снова обманули, как
с кедровыми орехами, которые
на самом деле сосновые семечки.

Но вот в чем подвох: если мы проделаем эту операцию бесконечное количество раз —
мы получим бесконечно сложное множество. То есть мы получим объект, части которого можно приближать и приближать, в нем будут все новые и новые формы. В каждой точке этого объекта содержится целый мир причудливых форм, и в каждой точке этих миров
те же бесконечности.

Как с этим разобраться? Формула проще некуда (удовлетворяет наше евклидово представление о простоте), а сам объект — бесконечно сложный. Мандельброт предлагает взглянуть на это скорее со стороны алгоритма, чем со стороны конечного объекта (ведь его и нет как такового во фрактале, он бесконечно строится), — описывать не сложность объекта, а сложность процесса построения.

И тут оказывается, что причудливые природные формы крайне просты. Снова возьмем папоротник — он растет из споры, в каждой клетке которой должно быть записано, какой формы должно быть готовое растение.

Представьте себе, какой длинной будет формула, описывающая финальную форму папоротника со всеми его изломами и разветвлениями — со стороны формы папоротник очень сложен.

Но для его построения не обязательно знать, что должно получиться — достаточно знать простой алгоритм ветвления.

И только это простое правило и записать, с двумя маркерами — сейчас включить, сейчас выключить.

Дело даже не в сложности описания. Форму финального растения в принципе нельзя описать — она подвержена вариации, мы никогда не знаем, каким в точности вырастет наш папоротник, подход со стороны алгоритмов — единственно возможный.
 

Со стороны описания алгоритма построения оказалось возможным изучать, описывать и моделировать (!) формы гор, бронхов, кровеносной системы и излучин рек. Формы, к которым раньше было даже не подступиться, благодаря Мандельброту оказались вполне понимаемыми.

Мне всегда помогает аналогия с кулинарным рецептом. Представьте, что в кулинарной книге перечислено все, что должно быть в супе: 234 кусочка картошки (и размер каждого из них), 134 кусочка лука (и размеры), 23 кусочка мяса. Вот так же нам бы пришлось описывать финальную форму папоротника. Вместо этого мы описываем алгоритм — порежьте, нарубите, покрошите. И у нас все равно получается суп, пусть и с вариациями — в одной кастрюле 234 куска, в другой — 219 кусков картошки. Высчитывая алгоритм ветвления папоротника, можно получить слегка разные, но все же папоротники.

Тому, как с помощью цепей обратных связей и градиентов концентрации создаются законы развития жизни, посвящена книга прекрасного русского биолога Александра Маркова «Рождение сложности», которую я настоятельно рекомендую прочесть.

В пример понимания простоты / сложности с точки зрения алгоритмов Мандельброт приводит фрактальную кривую Коха.

Притом что она выглядит сложной, алгоритм ее построения, как пишет Мандельброт, на самом деле проще, чем алгоритм построения окружности. Со стороны алгоритмов (с той стороны, с которой на это дело смотрит природа вокруг нас) эта кривая — более простая форма.

Кривая Коха

Заключение

Мы совсем немного углубились в тему фрактальной геометрии — основной геометрии живой природы. Я буду считать свою работу успешно выполненной, если при взгляде на дерево перед домом вы вспомните, что дерево и дом описываются разной геометрией. Дерево — снизу вверх, геометрией фракталов и алгоритмов, описывающей как сделать. Дом — сверху вниз, сперва он был вычерчен в финальном своем виде архитектором. Такая геометрия описывает, что сделать, а не как.

Чем больше я смотрю на это, тем больше мне хочется говорить и узнавать про фрактальную геометрию, про которую я толком еще ничего не знаю, а теперь, надеюсь, толком ничего не знаете и вы. Ведь это язык, на котором говорит живой мир, благодаря которому мои легкие наполняются кислородом, а кровеносные сосуды несут кровь к рукам.

И чем больше я об этом узнаю, тем сложнее и многограннее кажется мне этот мир.

В одной книге про бабочек автор сравнивал увлечение ими с добавлением себе в жизнь еще одного измерения. Могу подтвердить — так и есть. Параллельно с жизнью городской улицы со снующими людьми у вас добавляется измерение, в котором вон та свежевылупившаяся боярышница летит над крышами машин вот к той рябине — откладывать на свое кормовое растение яйца. Точно так же шрифтовые дизайнеры погружаются в измерение городских шрифтов, а профессиональный электрик наверняка видит отдельное измерение в системе проводов, опутывающих здание.

Также и фрактальная геометрия, открытая Бенуа Мандельбротом, добавляет в наш мир еще одно измерение — типизируемых, описываемых, сложных ломаных форм, которые до этого были не названы и сливались с окружающей действительностью. Теперь же, названные и описанные, они отделились от общей массы, чтобы мы могли разглядеть их во всей красе. Чудеса там, куда ты пристально вгляделся.

Спасибо Мандельброту, открывшему для нас новый, прекрасный и подвижный мир фракталов, по которому мы делаем только первые шаги. Действительно, nomen est numen, назвать — значит узнать.

Постскриптум памяти моего африканского предка

Надо признать, что не везде в мире господствует евклидова геометрия. Рон Эглэш, исследуя африканскую архитектуру и обычаи, обнаружил там огромное количество скрытых ранее фракталов. Сперва в очевидных местах — в узорах. Потом в чуть менее в очевидных — в прическах. А потом и в совсем неочевидных — даже в построении деревень он обнаружил самоподобие.

Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги — дома, внутри которых еще маленькие круги — дома духов.

Я могу предположить, что это последствия близости жителей этих племен к природе — они переняли именно ее законы. Так, для жителя этой деревни ветка с дерева, я думаю, будет казаться более простым предметом, чем стальной шар. «Ветка — она вот, пошел, сломал, а шар где я достану и как сделаю?» — может подумать он.

Некоторые типы фрактальный организации поселений

Что почитать и посмотреть по теме

Глейк Д. Хаос
«Создание новой науки»

Еще одна классическая книга по теме, рассказывающая, как в 70-е годы медленно зарождается новая наука — теория хаоса. Главные герои — молодые ученые Лоренц, Фейгенбаум, Мандельброт, поглощенные и очарованные новым миром хаоса, который перед ними открывается. Это книга, после чтения которой я понял, что же такое эффект бабочки, открытый Лоренцом и, соответственно, почему так сильно врут прогнозы погоды (виноваты не синоптики, они стараются, виновата сильная зависимость от начальных условий). Великая книга.

Сложность: ⅗

Требуемая математическая подготовка:
не требуется.

Бенуа Мандельброт
«Фрактальная геометрия природы»

Первое, что я рекомендовал бы прочесть незамедлительно, — классическая книга основоположника фрактальной геометрии, вышедшая в 1982 году. Она до сих пор остается центральным ознакомительным трудом по теме.

Сложность: ⅘

Требуемая математическая подготовка:
выше среднего.

фильмы

лекции

NOVA «Фракталы. Поиски новых размерностей»

Неплохой документальный фильм — обзорная экскурсия по миру фракталов, от прически Мандельброта до антенны в вашем мобильном.

Сложность: ⅕

Требуемая математическая подготовка:
не требуется.

Лекция Бенуа Мандельброта на TED

Великий мастер фракталов, похожий на Йоду, за год до своей смерти рассказывает, как ему открылась фрактальная геометрия.
Есть русские субтитры.

Сложность: ⅕

Требуемая математическая подготовка: ​
не требуется.

Лекция Рона Эглэша про фракталы в Африке

Эглэш объясняет, как он открыл фрактальные структуры в строении африканских деревень, узоров племен и устройств дворцов знати. Есть русские субтитры.

Сложность: ⅕

Требуемая математическая подготовка:
не требуется.

BBC «Тайный код жизни»

Трехсерийная документалка BBC про математические законы нашего мира. Почему соты — шестигранники (эффективное заполнение пространства), а периодические цикады появляются каждые 17 лет (важно, что это простое число). Немного про нормальное распределение и про форму вирусов. Не блестяще, но можно посмотреть.

Сложность: ⅕

Требуемая математическая подготовка:
не требуется.

Документальный фильм Артура Кларка про фракталы

Комментарии излишни. Перевода нет.

Сложность: log4/log3

Требуемая математическая подготовка:
близость к божественному.