Во власти синуса

Розы, Пушкин и стабильность — в статье о безупречности синуса

Недавно Дима Скопинцев изливал свою ненависть,​
а теперь расскажет
о настоящей
многолетней любви.

В восьмом классе для доказательства теоремы Пифагора вводили косинус угла. Синус появлялся уже позднее, как что- то второстепенное, лишнее. Было обидно за синус, ведь это он — главный, а косинус лишь его дополнение. Эта статья — песнь любви к синусу.

y

Возьмем плоскость с прямоугольной системой координат xOy. Точка O — начало координат, Ox — ось абсцисс, Oy — ось ординат. Построим единичную окружность (то есть окружность с радиусом 1) с центром в точке O. Проведем из точки O луч под углом α к лучу Ox. Если угол положительный, то он измеряется от луча Ox против часовой стрелки, если отрицательный — по часовой стрелке. Назовем точку пересечения построенного луча и единичной окружности точкой B.

B

α

O

A

x

Практические советы

— Если у вас маленький синус, можно повернуться на π/2 и он подрастет.

Тогда ордината точки B называется синусом угла α, а ее абсцисса — косинусом.

Можно доказать, что в произвольном прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — отношению прилежащего катета к гипотенузе.

sin α = a/c

cos α = b/c.

B

 ордината

c

a

 абсцисса

α

b

A

C

Синус — нечетный, поэтому его можно подарить, в отличие от четного косинуса, который сгодится только на похоронах.

Когда мы равномерно вращаемся по единичной окружности, синус угла нашего поворота уверенно движется туда-сюда по оси ординат, совершая полный цикл при обороте на 2π. Он разгоняется у нуля и сбавляет темп у ±1. А его график y = sin x разворачивается в самую простую и самую безупречную кривую — синусоиду.

График y = cos x — тоже синусоида, но сдвинутая вдоль оси Ox. Только мне никогда не нравился y = cos x с его безвольным бугорком в окрестности нуля. Другое дело — y = sin x, ловко пролетающий 0 под идеальным углом 45°. Так же великолепно ведет себя в 0 прямая y = x (и это неслучайное совпадение), но прямая — это банально.

— Если у вас косинус, проинтегрируйте его — и получите синус. Дифференцировать косинус не нужно, иначе будет минус синус.

7 причин, по которым синус лучше друзей

— За синус не стыдно.

— Синус не будет вас знакомить со своими бестолковыми друзьями.

— Синус проверен временем.

— Синус не сядет вам на шею — у него всегда есть свой угол.

— Синус не предаст.

— Синус не может неприятно удивить.

— Синус не будет жаловаться вам на жизнь, а вы можете жаловаться синусу сколько угодно.

Когда мы только начинаем познавать изящество математических объектов,
нас тянет к сложным удивительным кривым:

Эпитрохоиды

Конхоиды Никомеда

В формуле эллипса (овала) тоже синус:

Гипотрохоиды

Овалы Кассини

 Я с детства не любил овал.​​​
Я с детства просто убивал.

Дмитрий Александрович Пригов

Розы

Уравнения всех этих кривых выражаются через тригонометрические функции. В основе всегда оказывается синус — незаметный, но незаменимый.

Понимание ценности синуса приходит с опытом и мудростью. Синус — это классическая музыка.
Синус — это черный цвет в одежде.
Синус — это Александр Сергеевич Пушкин.

Синус — это лаконичность и изящество.
Синус — это стабильность. Лучшее, чему вы можете научить своих детей, — это синус. Каждому человеку близок синус: как без –1 нет 1, так без горя нет счастья, и жизнь — это плавные колебания между двумя полюсами.